平成 26 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

今年もとりあえずといてみましたのでアップします．もっと効率の良い解法もあると思いますので，参考までに見てください．

今回は英語と数学のテストの得点のデータの分析で，一人増えたり，減ったりとデータが変わったときの統計量の変化を求めています．

計算はセンター試験の統計の問題らしく工夫することで計算量を減らすことが可能なものもあり，こういう問題もありと思います．ただもう少し現実のデータ分析に近く，代数的な問題よりはグラフ等を用いた視覚的アプローチの問題を期待したいと個人的には思います．計算力をここでは測りたいわけではないと思いますので，解法が浮かんでも面倒な単純計算で，時間ばかりかかるような気もします．とはいえ，なかなか出題は難しいと思いますけどね．今回から具体的な数値は書かないようにしますので，ご注意を．

(1) 与えられた虫食いデータの表から該当する測定値や統計量，関係式を求める問題．平均値などいくつかの統計量が与えられているので，方程式等など基本的な計算で求められる．ただ面倒…．

後半は関係式を求めるもので，ひとつは平均値より，もうひとつは相関係数→共分散で求めます．できることはすぐわかるのですが，平均値になっているものもあるので，多少は計算量が減りますが，それでも面倒…．最後は簡単な連立方程式．このレベルの連立方程式で点数が得られるならここだけは良い意味ではサービス問題．

(2) 与えられたデータに対応する相関図（散布図）を選ぶ問題．この手のものは選択肢の図を比較して差分を見ればよいですね．

(3) 一人増えたときの統計量の変化を問う問題．定義に従って計算を行えばよい．できるけど…サービス問題としてかんがえましょう．

(4) 一人減ったときの統計量の変化を問う問題．減ったひとは数値を見ればすぐわかります．問題を読めば，問題になくても考えていました．これで点数がつくならありがたい．

後半は最初に選択肢の意味が分からず，ちゃんと読まないと下に選択肢群があるのに気づきませんでした．ちゃんと読まないといけませんね．分散の比と相関係数の比を求めています．平均の人は偏差が 0 なので，分散と共分散の分子？は変わらず，割る数が減るので，全体として大きくなる．相関係数は分散，共分散が同じ比で大きくなるため，変わらないことが分かります．定義式を理解しているか，統計量の性質を理解しているとすぐわかる問題と思います．

単純な計算が多く，データの分析という意味ではどうかなと感じますが，良い意味では，他の選択問題を選ぶよりは高得点を期待できたかもしれません．もちろん理解していればの話ですが…．

参考まで．

平成 24 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

いまさらながらですが，昨年度の問題です．前にも解いたのですが，どこかに行ったのでとりあえず．

今回は相関表を用いた問題ですね．前半は 20 人の国語と英語のテストの結果のデータ，後半も同じですが，40 名追加され 60 人のデータになっています．

相関表は新しい指導要領では特に無かったのですが，結構，面白いし，官庁の資料でも見られますので，覚えていて損はないかなと思います．

結構，計算量が多そうな部分もありますが，分布の特徴を知っていると解きやすくなるなど，おもしろいところもあり，良く考えているなと思います．

(1) 相関表から情報を読み取る問題．国語の得点が 4 点の生徒は国語が 4 点のところをみればよいので， 5 人であり，英語の得点が国語の得点以下の生徒はこの相関表の対角線を引き（対角線上は英語と国語が同じ点数），対角線上と対角線より下の人を探せばよいので，8 人と読める．

(2) 相関表から度数を読み取り，平均値や分散を求める問題．すべてのデータの値があるため求められるが，ちょっと面倒．仮平均等を利用してもよいが何か良い方法があるのかな…．とりあえず求めて，国語の平均値は (3×2+4×5+5×8+6×2+7×2+8×1)÷20= 5.0 点，英語の分散は {1×(3-6.0)^2+2×(4-6.0)^2+2×(5-6.0)^2+8×(6-6.0)^2+5×(7-6.0)^2+2×(8-6.0)^2}÷20 = 1.60 となる．度数が多いところは 0 がかかるので計算量が減っています．

(3) 相関表から偏差が 0 出ないところをみつけ，相関係数を工夫して求める問題？おもしろい問題と思いました．前半で，平均値と異なる人数をきいていますが，平均値と同じところを国語と英語で除くと（相関表で国語の 5 のところ，英語の 6 のところ）に線を引けば消されなかったセルにある人数 5 人が該当者とわかる．集合の話をしているのかなと思ったら後半の問題につながっていますね．この消された人たちは少なくとも一方が平均と同じのため，偏差が 0 となり，つまり偏差積が 0 になります．したがって共分散は，残った 5 人のところの計算（偏差積の和）を 20 で割って，1.00．国語と英語の分散が等しいことも踏まえ，相関係数は 1.00÷1.6=0.625 となる．

(4) 最初の問は素直に求めることはできますが，ちょっと計算量が大変かなと思います．ただ求めるだけなので難しくはないですけど…．とりあえず (1×1+2×2+3×3+…9×1)=282．また 60 人から D，E，F を除いて 52 名なので，D + E+ F = 8 名．国語の合計点数から 4D + 5E + 8F = 5.4×60 - 282 = 42．3 つの連立方程式を解いて，D = 4 人，E = 2 人，F = 2 人．3 つの連立ですが，それでも割と求めやすいと思います．

(5) こういう必要性があるのか気になりますが，あるかもしれませんのでとりあえず求めても，単に平均が定義がわかれば，求められます．全体の平均×60 = A クラスの平均×20 + その他のクラスの平均×40 のため，5.4×60 = 6.0×20+その他のクラスの平均×40 が成立し，この方程式を解いて，5.1 点．中央値は今回の相関表から A クラスのデータをとって40 名の半分の 20 番目と 21 番目の得点を考えるがともに 5 点のため，中央値は 5 点となる．これも難しくないのですが，ちょっと面倒かも．

(6) この問題は面倒ですが，へーと思うところもあります．要するに国語の得点をそれぞれ見ていき，対称になってい無い場合が異なる場合で，1, 2, 4, 9 の逆で 4 個ある．また平均，中央値ともに小さいのは，相関表の対角線よりも下に平均値や中央値があるところで，7 と 8 と 9 の 3 個になる．分布の形状による中央値と平均値の関係を知っていればとけると思います．これは面白いと思います．

平成 25 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

毎年しているつもりでしたが，去年はアップしていませんでしたね．あれれと思います．

今年の問題は計算量を減らす工夫は素晴らしいと思いますが，もう少し統計的な考え方の問題があってもよいかなと感じました．とはいえ，試験問題を作るのは大変なので，あまり言えませんが…．

今年の問題は全体を通し，テストの点数に関する問題で，10 名の国語，英語，数学の 3 教科の結果について，統計量の計算および散布図を選ぶ問題といえそうです．

計算時間があれば基本的な統計量の求め方や散布図の描き方を知っていれば，満点取れると思います．

(1) 10 人の国語の点数の値が与えられており，平均値，分散，中央値を求める問題．各統計量の定義を知っていればできる，基礎的な問題です．それぞれ計算して，平均値は 7.0 点，分散は 4.00，中央値は 7.0  点でした．特にテクニック的な求め方は浮かびませんでしたが何かあるのでしょうか…．

(2) 度数分布表の穴あき問題．すでにある程度わかっているので，平均値と分散を求める式から関係式を考えると 2 つの式が得られるので，その連立方程式を解けば求められる．C >D から C = 9 点，D = 7 点．こちらも基礎的な問題で，統計の基礎力を確認しているように思います．

(3) 与えられた 2 組のデータから散布図と相関係数を求める問題．実際に散布図を描けば，0 の散布図の (7,10) はデータにないこと（※そもそも英語で 10 がいない），1 の散布図の (10,7) がデータにないこと，3 の散布図では (7, 8) がデータにないこと，に気づけば選択肢 2 が選べる．間違い探し的に探すのが良いのだろうか…．相関係数は求めるしかないのですが，逆にすでにすべての数値があるので，確実に求められることがわかります．実際に手計算すると 0 となる部分が多く，とりあえずは求められます．結果 0.2 となります．ICT を利用したらさっととける問題はどうかなと思いますが，この計算の工夫は良く考えていると思います．

(4) 前半は 2 つの変数の合計の平均を求める問題．平均の求め方が分かっていれば，式変形を行い，（合計の平均）＝（国語の平均）＋（数学の平均）＝7.0 + 5.4 = 12.4  点とわかります．何か含みがある問題なのかなと思いつつ，仕掛けをきづきませんでした…．

後半は合計の分散を流れに従い計算する問題．相関係数とそれぞれの分散が与えられているので，相関係数を求める式にそれぞれの値をいれ，偏差積も方程式で求めることができ，T = -3.000
となる．分散においても (4) の前半と同様に式変形をすれば，S_w^2 = S_x^2 + S_y^2 + 1/5 T とわかる．あとは S_x^2，S_y^2，T の値はすでに求められているので，計算して， 4.84 となる．

もう少し統計的な部分が…とは思いますが，全体として基本的にわかりやすい問題と思います．

参考まで．

平成 23 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

毎年のことですが，平成 23 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問を解いてみました．いつも思いますが，もっと楽な方法があるのかなと思うのですが，おそらく実際に受けてみたら他の問題もあるのでとりあえず解いて，時間があればいろいろ考えてしまいそうです．

全体を通して，ゲームの得点問題です．なんとなく「ふーん」という感じもありましたが，変数変換（といっても増加率計算）もあり，こういうのもありかなと思います．計算量を増やさずに統計用語の理解を問うところは面白いですね．

(1) 平均値を求める問題．とりあえず求め方は普通の方法ですが，仮平均だと少しでも楽になると思います．私は 30 点を仮平均として利用して求めました，32 点です．関係式は平均の意味がわかれば分かりやすいと思います．(A1×10+A2×5)/15=A なので 2/3A1 +1/3A2 = A．

(2) 偏差，分散，標準偏差を求める問題．統計用語の意味がわかっていれば難しくないと思います．あとあとのことがあったのでとりあえず偏差を出してみて，偏差の最大値は番号 2 の 7.0 点．偏差の平方和を求めて個数を割って，16.00．その正の平方根をとり，標準偏差は 4.0 点．考えてみると平方根の表がないと特定な数でない数値の平方根は求められないので，となると…．

(3) データの大小関係から各数値を求める問題．平均値や範囲，分散等の意味を理解していれば問題ないかと．平均値の関係から x+y+z=0，範囲の定義から D-F=(x+43)-(z+43)=7．つまり x-z=7，偏差と分散の定義から x^2+y^2+z^2=26．この 3 つの連立方程式から（私は x にそろえた方法でしました），x=3, 4 となり，x=3 のときは z＜y＜0＜x に適さないので，x=4 を選び，z=-3, y=-1．これらは偏差なので D, E, F はそれぞれ 47 点, 42 点, 40 点．

(4) 適切な散布図を求める問題．データを見ながら適切なものを選びますが，分かりやすいところから探すといいですね．p が 40-45 のところをみると明らかに 3 がおかしく（右下の点はおかしい），また 1 も同様の理由でおかしい．あとは 0 と 2 の違いをみると，30-35 で 40 を超えるのものはないため，2 が正解．相関関係も散布図から正の相関と分かります．

(5) 変数変換の問題．変数変換ですが，変換式をみると点数の増加率です．良い方法があるのかなと思いましたが，10 個の計算でかつ小数第一位で度数分布は求められそうでしたので，すべて求めて度数分布表を完成しました．もちろん度数の合計は 10 のため，G がわかれば H も求まります（逆もしかり）．具体的に計算して，G は 3，H は 4 でした．

面白いなぁと思いますね．参考までに．

多数のデータを手書きで計算する際のコツ？

高校で統計が入っていきますが，数学の中でするためか，ちょっとあれっと思う問題があります．

多数の観測値の平均を求めさせる問題です．数学リテラシー的にはどうかなと思いますが，うーんです．

とりあえず手計算でやってみましたが，なかなか計算ミスをしてしまいます．単純な足し算なのに，計算忘れとか…．参った．

コツではありませんが，こういうときは 5 区切りで少しスペースを空けるほうがよさそうですね．考えてみたら，統計数値表や乱数もそうなっていますね．あれはあれで便利になっているのですね…．今差ならながら気づきました．

参考までに．

平成 22 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問の補足

(1) の A と (4) の D の計算は右手と左手の測定は基本的に独立と考えられるので E((X+Y)/2)=(E(X)+E(Y)/2) を利用しています．これらは数学 C で紹介されていると思いますが，確率変数の性質をいくつか知っていると時間短縮ができそうな気がしています．

平成 22 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

平成 22 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問を解いてみました．以下に時間内に早めに計算できるかが気になります．たぶんもっと楽な方法があるのかなと思うのですが，とりあえず…．

全体を通して，部員の握力の問題です．この問題では結果的に何をしたかったのかちょっと今のところ分かりません．ちょっと残念（私が単に気付いていないだけかもしれませんが…）．

(1) 平均値や中央値を求める問題．最初の平均値は左右の握力の平均値の値から逆算して 44.75×2-44.5=45.0(kg)（というよりもざっとみて暗算でしょうか？）．20 人全員の平均値 M は平均値の計算を考えると (45×10+43×10)÷20=44.0(kg)．中央値はざっと表示されている中央値も参考に小さい値から 10 番目の 45 と 11 番目の 46 で (45+46)÷2=45.5(kg)．

(2) 標準偏差を求めるの問題．この問題は何かいい方法がないかなと思いますが，悩むよりは計算とすると（少なくとも時間さえあればできると分かるので），(50-44)^2+(52-44)^2+…+(37-44)^2=300．分散・標準偏差の定義を思い出すと全体の分散は(300+420)÷20=36，標準偏差は√(36)=6.0(kg)．

(3) ある区間に入る観測値の個数の問題．これは (2) の S の値が分かればあとは注意深く見る（点グラフを書いてもいいですね）とできます．N(1) はようは 44-6～44+6→38～50 の区間に入る部員数ですので，数えて 12．N(2) も同様に 44-12～44+12→32～56 の区間に入る部員数ですので，19．おそらくこの問題はデータが正規分布に従う際に 1σ内にはおよそ 68%，2σ内には 95% が入ることを意識させているのかもしれません．ただそれを知ってても元のデータの分布が正規分布とは限らず結果的に見て数えましたが…．

(4) 平均値や中央値を求める問題．これは (1) の A と同じく，41.25×2-43=39.5(kg)（なぜ同じ計算があるのかな？）．とりあえず中央値が 40.5kg なので，5 番目と 6 番目に 40 と 41 があることがわかる．みると 40 はないので，少なくとも一つは 40kg である．また平均値が 39.5 のため，39.5×10-(34+31+44+38+45+33+41+42+40)=395-(40*9-12)=47（ここでは仮平均の考え方を用いました）(kg)．あとは B>C より B は 47kg，C は 40kg．

(5) 散布図（相関図）と相関係数の関係の問題．とりあえず特徴的な観測値を探して，左右の平均値が 50kg のものに注目すると与えられている問題のデータで 2 つ．それらの観測値の差は 0kg と 4kg．これを与えられている散布図でみると 1 のグラフ以外にないので，答えは 1 のグラフ．このグラフは右上がりも右下がりも見えず傾向がないため，無相関の関係になる．したがって，相関係数の値は 0 に近くなり，選択肢の中では 2 の 0.0．また無相関であるため，説明文は傾向が認められないと書かれている 1 となる．

全体をみて，分散が結局使われなかったのは単なるダミーなのか，どこか有効に使えるのかまだ悩んでいます．とりあえず自分がこの問題を解くなら上のような解き方かなと…．

参考までに．

平成 18 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

現在の課程を受けた学生が受験してきている最初の統計の試験の個人的な解説を紹介します．いつも書いていますが，より良い解法もあると思いますので，参考までに見てください．また前回同様，問題自体は大学入試センターのウェブサイトや予備校のサイトに今日の時点ではありました．参考までにご利用ください．

全体としては，教科書レベルを理解していれば，問題ないと思いますが，やや 19 年度，20 年度，21 年度と比べると少し問題が少ないのか，割とさっと答えられるように思います．ただ変数変換などもちゃんと理解していないと教科書で扱っているのかが分かりませんので，落ち着いて解く必要があったかもしれません．

[1] の (1) の問題：5 人の小テスト x, y の得点のデータで x の分散を求める問題．そのまま定義どおりに求め（表に書いていけば分かりやすいかも），0.4（←アイ）．

[1] の (2) の問題：変数変換の問題．y の得点の平均値を求めると 8．ここでの y を使った変数変換で，t の平均値は 0 になることから，y - 8 と平均値を引けば t の平均値は 0 になるので，答えは 8（←ウ）．

[1] の (3) の問題：変数変換の問題．x の分散と同じものになるということで，まず x の分散を求めると (1) より，0.4．y の分散も同様に求めて，2．したがって変数変換で 2 である分散が 0.4 になるためには，y/√(2) × √(0.4) = √(5)/5 y（←エオ）．(2) の問題もですが，偏差値（平均値 50，標準偏差 10）の式を思い出すと何をどこにかけるかがわかると思います．

[1] の (4) の問題：相関係数の問題．x と y の相関係数ですので，そのまま定義どおり求めて（表で求めることをお勧め），相関係数の 2 乗は 0.45（←カキク）．y をスカラー倍した変数変換した u と x との変数変換ですので，定義式を考えると，相関係数が変わらないことが分かりますので，答えは先と同様に 0.45（←ケコサ）．この問題もですが，変数変換による性質は数学 C の確率分布のところで触れます．発展的に先に習っていたらささっと解けるのですが，知らないと手間がかかるかもしれません．E(ax+b) = aE(x)+b，E(x+y)=E(x)+E(y)，V(ax+b)=a²V(x) などは知っておくと試験のときには便利かもしれません．

[2] の (1) の問題：何かの資料の散布図から相関係数を求める問題．散布図と相関係数の関係がわかると，まず右下がりで負の相関がありそうですので，0 か 1 か 2 の可能性あり．相関係数の絶対値は 1 を超えることはあり得ないため，0 が消える．残りで考えた場合，-0.9 の場合は，かなり直線に近い状況といえるため，やや強い相関といえる -0.6 の 2 を選べます（←シ）．なんとなくはわかりますが，あっているとは思うけど…．というようなやや自信がない生徒もいるかなと思います．この辺りは多くのデータを見てほしいと思います．

[2] の (2) の問題：クロス集計（どちらかというと相関表ですね）で周辺度数を求め，ヒストグラムの関係を問う問題．周辺度数をもとめて，変量 p は，2 峰の分布になっていることがわかるので，4（←ス）となる．変量 q はやや大きい方に山が来ている（左に歪んでいる）データといえますので，その形を考え，2 か 5 のグラフ．あとは表を見ながらより適切なものは 5（←セ）ということが分かります．

平成 19 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

平成 20, 21 年度のつづきで，平成 19 年度のセンター試験（本試験）における数学 II・B 第 5 問の個人的な解説を紹介します．いつも書いていますが，より良い解法もあると思いますので，参考までに見てください．また前回同様，問題自体は大学入試センターのウェブサイトや予備校のサイトに今日の時点ではありました．参考までにご利用ください．

全体としては，教科書レベルを理解していれば，問題ない問題ばかりですが，20 年度，21 年度と比べると少し計算が面倒な点や戸惑う問題があるように思いました．それでも他の設問が割と早めに解けると思いますので，時間をかけて「？」と思う設問をとければよいのかなと思います．

これまでの試験すべてでいると思うのですが，今回の新学習指導要領におけるデータの活用という意味の問題は解釈を選択する設問以外は作りにくいのかなとも思いました．

(1) の問題：P 高校のクラスの数学 x と国語 y のテストの得点の問題で，x の合計や平均値を求めます．ただすべての対象の数値がないため，得られた情報から求める必要があります．問題文に指示がありますので，その指示に従えば特に問題はないと思います．生徒番号 1 の偏差をみて，62-平均値=3.0 となっているので，平均値 B は 59.0（←アイウ）．生徒が 20 人いますので，合計 A は，59.0×20=1180（←エオカキ）．

(2) の問題：分散を求める問題．x の分散は，偏差の 2 乗の平均のため表より 77.2（←クケコ）．これをみると合計が与えられている表さえ見れば個々の数値がなくてもたいがい求められることが分かります．

(3) の問題：変数変換の問題（これは教科書で発展でもしているのでしょうか）．変数の合計した変数の平均値のため (z の平均値) = (x の平均値) + (y の平均値) = 59.0+61.0 = 120.0（←サシスセ）．これは 20 年度では差による変数変換の平均値と同様に求められます．また分散は問題分に与えられている情報を活用し，与えられた式の両辺を n（今回は 20）で割ると (z の分散) = (x の分散) + (y の分散) + 2 ×(x と y の共分散）となり，共分散は正負どちらともなりますが，今回は表から負になっているため，(z の分散）の方が {(x の分散)+(y の分散)} よりも小さくなります．よって，「<」（←2，ソ）．

(4) の問題：x と y の散布図を問う問題．少なくとも共分散が負のため負の相関になることから，グラフは 2 か 3 の散布図になることは明らか．あとは相関係数を求めてたらより相関が高い 3 と分かりますが，あとの方法としては，中央値をみて，より真ん中の数値を表しているということを考えると 3 となります（←タ）．しかしこの問題はよくみて考えないと直感では「？」と思います．よく考えて，こういうことかなと思いました．

(5) の問題：P 高校と Q 高校の度数分布表の問題です．中央値を求めますが，P 高校は 10, 11 番目，Q 高校は 13 番目の学生がいるところを探します．P 高校は 55～59．Q 高校は 60～64 となります．よって，「Q 高校の方が大きい」の 1 になります（←チ）．

(6) の問題：度数分布表からの平均値を求める問題．階級値を使った計算，特に仮平均値を用いた解法をすると少しは簡単になると思います．これで得られた 54.8 ですが，階級値を用いた場合，それぞれの対象の値が最大で階級の幅の半分の誤差が出ます．これは平均値に対しても同様にでます．これを踏まえて，平均値のとり得る範囲は 54.8-2～54.8+2 となり，結果，52.8～56.8 となります．またこれと (1) から P の平均値は 59.0 から，どちらにしても「P 高校の方が大きい」の 0 になります（←ネ）．

(7) の問題：記述の正しさを問う問題．とりあえずひとつ一つ見ると 0, 1, 3 は正しい．2 は同じになるため，あれっと思い，またこれしか選択肢がないため，これが誤っているものになります．確かに誤っているとはこれのみです．

平成 20 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

前回の平成 21 年度からさかのぼり，平成 20 年度のセンター試験（本試験）における数学 II・B 第 5 問の個人的な解説を紹介します．より良い解法もあると思いますので，参考までに見てください．また前回同様，問題自体は大学入試センターのウェブサイトや予備校のサイトに今日の時点ではありました．参考までにご利用ください．

全体としては，教科書レベルを理解していれば，問題ない問題ばかりです．また計算時間も考慮されているのか，問題ないように思えます．一問，グラフから大まかに数値を読み取るところはマークだからこそできる問題と思いました．この手の問題の解法は本来のデータ分析ではありえないと思いますが，グラフから数値を読み取ることはままあるので，その意味では面白い問題かと思います．あとの分散の変化や散布図・相関係数の内容を問う問題も面白いと思います．

(1) の問題：最低気温 x と最高気温 y のうち x の各月の値を与え，平均値と中央値を求める問題．どちらも各数値があるので，定義に従って計算すればよいでしょう．ちなみに個体の図示化である散布図の x 軸をみていくと平均値のおおよその値や中央値を求めるための 2 つの個体（6 番目と 7 番目）の個体もわかります．具体的に，平均値は ((-12)+(-9)+…+(-8))÷12=5.0（←アイ），中央値は散布図から 6 番目は 3 ℃，7 番目は 7 ℃とわかるため，(3+7)÷2=5.0（←ウエ）となります．平均値は仮平均を使うと少しは楽かもしれません．また出てきた平均値の数値をグラフをみると確かに 5 が真ん中になりそうですので，簡単な確かめにもなります．

(2) の問題：2 つのグループに分けたときの平均値等を求める問題．4 つの個体の平均値なので，そのままもとめ（(-12)+(-9)+(-3)+(-8))÷4=-8.0(←オカキ），分散も同様に，偏差を求め（-4, -1, 5, 0．偏差の合計は 0 になるので正しい），二乗して平均値（16, 1, 25, 0 の平均値←分散の定義）を求め，(16+1+25+0)÷4=10.5（←クケコ）．また y の全体の平均値も y の個々の個体の数値の合計を平均値から求め，それを割ります．つまり，(6×4+21.5×8)÷12=16.333…≒16.3（←サシス）となります．個数の異なるグループの平均値から全体の平均値を求めることを覚えていると（内容を理解していると）難しくはないです．

(3) の問題：数値の変更に関する問題．y の変更は 30 ℃から 18 ℃の -12 ℃です．平均値の途中計算を踏まえると全体が 12 ℃下がります．となると平均値は 1 ℃（←セソ）下がることになります．分散については，y の平均値（(2) で求めた 16.3 ℃）の方に集まることになるので，散らばりが減り，分散の値も小さくなります（1←タ）．

(4) の問題：この問題は散布図のグラフから数値を読み取ります．12 個からなるデータの中央値のため，6 番目と 7 番目に注目します．6 番目は 12 ℃あたり，7 番目は修正前で，21 ℃あたりの個体，修正後は修正値である 18 ℃です．したがって中央値は，修正前で，(12+21)÷2=16.5 ℃で，選択肢から 16.5 を選びます．ちょっと不確定のため確認すると 18 ℃を選択肢で選ぶ場合を考えたら，24 ℃．15℃の選択肢はグラフから見る限りありえませんので，6 番目の数値も不確定ですがどちらかというとを考え，この場合はこの数値で良いようですので，16.5℃の 2（←チ）といえそうです．また修正後は (12+18)÷2=15 となり，1（←ツ）とします．グラフから読み取るのはあいまいさが残ってしまい，マーク特有の問題かもしれません．

(5) の問題：最高気温から最低気温の差を新たに求めた変数 z との関係を問う問題です．z の平均値は，差の平均値のため（もちろん差を求めることを考えていますので，2 つの対象の個数は同じになります），それぞれの平均値の差を求めればよいです（(x-y の平均値)={(x1-y1)+(x2-y2)+…+(xn-yn)}÷n=(x1+x2+…+xn)÷n-(y1+y2+…+yn)÷n=(x の平均値)-(y の平均値)）．このことを知っていたら簡単で，これまでの問題や解答の数値から 15.3-5.0=10.3（←テトナ）．これを知らずグラフから数値を読み取る方法で計算すると曖昧な数値のみになるので厳しいような気がします．定義からこれが正しいことに気づけばよいのですが…．散布図の選択は，特徴的な x が 15 ℃～ 20 ℃あたりに注目し，このあたりの z は問題の最初の x-y の散布図より 7 ℃～8 ℃程度の差になっているので，該当するグラフは 1 （←ニ）といえます．

(6) の問題：(5) で選んだ 1 の散布図グラフの問題であり，明らかに負の強い相関が見えるグラフです．したがって，負の相関であり，x が小さい（最低気温が小さい）とき，z が大きい（差が大きい）ため，3 （←ヌ）の選択肢を選びます．

平成 21 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

平成 21 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問を解いてみたので紹介します．予備校のサイトなどでも解説等が掲載されていると思っていたら統計のこの問題などは選択率が低いのか公開されていませんでしたので，参考までに見ていただけたらと思います．他にもっと良いとき方があるかもしれませんので，あれば教えてください．問題自体は大学入試センターのウェブサイトや予備校のサイトに今日の時点ではありました．参考までにご利用ください．

全体として求め方は教科書レベルがわかれば解けると思います．一部うーんというところもありますが，理解していれば簡単に求めることもできるので良い問題と思います．実際のところ計算時間との勝負になりそうです．ただ統計的に意味のある問題かというと一部では少し疑問がありますが，数学の中での統計と考えると仕方ないのかもしれませんね．総じて，データの空欄を求めている問題（4 までの問題，3 の一部を除く）は統計では欠損値の扱いで使わなくはないですが，通常のデータ分析では特殊な例のため「うーん」と思いますが（特に 4 の問題は実データ分析であるかな…），後半の 5 と 6 の問題は，教科書レベルの統計をしっかり理解していたら計算せずに求められるため良問と思います．

(1) の問題：テストの結果のデータから該当するグループの平均値を求める問題と平均値などがすでに分かっているため残りの該当する個体の数値を求める問題．最初の問いは該当する数値から(40+63+…+43)÷5=48.0 点（←アイウ）．個人的には全体の平均値が 45.0 なのでこれを仮平均値として仮平均値を用いた平均値の求め方をする方が少しは計算が楽かもしれません．また得点 A は全体の平均値が 45.0 点で他の人の点数がすべてわかっているので，(40+63+…+43+A+51+…+34)÷10=45.0．A について方程式を解けば，(414+A)÷10=45→414+A=450→A=450-414=36 点（←エオ）となります．ただここで，I 班の平均値がわかっていることや四捨五入などで情報を落としていないことがわかっているので，40+63+…+43=48.0×5=240 であることがわかっていると少しは計算が楽かもしれません．もしくは先の解法ですでにこの合計を求めている場合はそれを利用することもできますね．こちらももちろん仮平均値を用いた平均値の求め方を利用しても少しは楽かもしれません．総じて「仮平均値を用いた平均値の求め方」は覚えておくと利用価値がありそうですね．

(2) の問題：相関係数を求める問題．相関係数は対応する二つの変数の共分散（偏差積の合計を標本のおおきさで割った数値）と二つの変数のそれぞれの標準偏差がわかると求まります．今回問題ですでにともに分散が 101.2 と与えられているので，ともに標準偏差は √(101.2) になります．したがって，それらを乗じ，分母が 101.2 だと分かります．この辺りはデータから直接標準偏差を求めるよりもこれらを利用したほうが計算時間の短縮のつながり，相関係数を理解しているかが一つのキーになりますね．II 班の個々の数値はすでに求まっていますが，他の平均値などはまだ求まっていないため，ひとつずつ計算していきます．II 班の 1 回目の数学の平均値 (36+51+…+34)÷5=42，または全体の平均値から 1 回目の数学の合計は 45×10=450 点．1 回目の I 班の数学の平均値から 48×5 = 240 点．この二つの数値から II 班の 1 回目の数学の平均値は (450-240)÷5=42 となります．また 1 回目の II 班の英語の平均値は (48+46+…+50)÷5=56 点．これらから偏差を求めて掛け算をもとめる表（1 列目：数学得点，2 列目：英語得点，3 列目：数学の偏差，4 列目：英語の偏差，5 列目：偏差積）を作成し，共分散は 28.2 と求まります．最後に分子÷分母をして，相関係数が 28.2÷101.2=0.279→0.28（←カキク）と求まります．この問題は結構時間がかかるように思えました．

(3) の問題：中央値を求める問題．中央値は個々の数値を並べ替えた真ん中の数値になりますので，B の値を除いて 1 回目の英語の点数を並べ替えると，36, 43, 46, 48, 50, 55, 64, 65, 71 となります．今回は標本のサイズが 10 なため，5 番目と 6 番目に注目します（この意味では，4～7 番目あたりの数値のみがわかればよいですね）．ここで数直線を描きながら B の値がどこになるかでケース分けをします．(i) B≦48 のとき（ただし B は整数．以下略），5 番目と 6 番目が 48 と 50 となるので，49．(ii) B=49 のとき，49 と 50 になるので，49.5．(iii) B=50 のとき，50 と 50 となり，50．(iv) 51≦B<55 のとき，50 と B の値になります．考えられるのは，B=51, 52, 53, 54, 55 となり，それぞれの中央値は，50.5, 51, 51.5, 52 （ただしそれぞれの中央値を求める必要はこの問題ではありませんね）．(v) 55≦B のときは，50 と 55 となるので，52.5 となります．したがって，全部で 8 通り（←ケ）になります．また全体の平均値が 54.0 点と与えられたので，平均値を求める式から，(43+55+B+64+36+48+…+50)÷10=54 より B は (B+478)÷10=54→B+478=540→B=62 点（←コサ）と定まり，中央値は上述したように 52.5 点（←シスセ）となります．この問題は数値の順番を考えるため数直線上に表記することが間違いないようにするコツかもしれません．

(4) の問題：数値の関係を求める問題．題意を踏まえて，関係式を考えると (I 班の平均値)=(II 班の平均値)+4.6→(60+61+56+60+C)÷5=(D+54+59+49+57)÷5+4.6→60+61+56+60+C=D+54+59+49+57+23→C-D=219+23-237=5←（ソ）．これは数学の関係式ができれば難しくはないですね．

(5) の問題：適切な散布図を求める問題．これは散布図の意味がわかれば格子点に乗りそうな特定の数値や最大値・最小値などの数値に着目して求められます．1 回目のクラス全体の数学と英語の関係の散布図は，英語の 36 点があるため，0 のグラフ（←タ）以外は英語で 40 点未満がないため，あり得ません．次に 2 回目のクラス全体の数学と英語の得点でも，同様に考え 0 のグラフはありえず，3 のグラフには英語の 40 点がないため選択外．残り特徴的な 英語が 60 点，数学が　56 点の数値の点を探して，1 のグラフ（←チ）が正しい．また，相関係数のいいかえると 0 のグラフと 1 のグラフの相関係数の組み合わせなので，グラフをみて，0 のグラフは相関が見えないため，相関係数は 0 に近く，2 か 3 の選択肢になり，1 のグラフはどちらかというとやや正の相関が見えますので，2 と 3 の選択肢のうち，正の相関係数をもつ 2 （←ツ）となります．ここは散布図と相関係数の意味がわかれば難しくなく，逆に理解していないと全く手が出せないでしょう．もちろんいちいちグラフや相関係数をもとのデータから求めていると時間が足りないと思います．

(6) の問題：平均値と分散とデータの関係に関する問題．データのここの数値の合計が変わらないと平均値の値は変わらない（「変更前と一致」の1 ←テ）ことや分散が散らばりを表していることを踏まえると題意により散らばりがなくなるため，「変更前より減少」の 0（←ト）とすぐ分かります．これも統計量を理解していると容易で，ここの数値からそれぞれを求めると時間がかかったと思います．

センター試験の数学における統計とコンピュータ

今日はセンター試験の 2 日目．数学においては B に統計とコンピュータがあるので，センター試験でももちろん出題されています．

やってみましたがいい問題ですね（もちろん全問正解）．どこかの予備校の分析は難易度は良いが，時間がかかると書かれていましたが，うーん本質がわかればそんなに時間がかかるとは思え無かったですね．ようは選択肢としてそこに答えがあるから消去していけば，他の設問よりは四則演算がほとんどなので，統計の意味がわかっていたら一番選択しやすい（まぁ私だけかもしれませんが）と思いました．時間がかかるところは数値でなく，文言の選択になっているので，さらに答えやすかったです．

強いて言えば，やはり数学らしいことが問題になっていることが残念でした．温度も重要ですが，もっといろいろ社会的な問題も統計では出せるので．でもきっと私にはわからない様々な問題があるのでしょうね．

今回，理科など他の教科もざっと見てみて，やはり統計が一番面白く，知ってて社会に役立てられそうと思いましたね．こんなの知っててどこかで使うかなとか考えると，統計はとりあえずどこかに使えそうな分野です．

最近，より現実的な数学が求められています．もちろん統計は数学の一部ではありませんが，数学に近い数理統計の分野として，高校数学ではより発展していってもらえたらなぁとあくまで個人的に思いますね．もちろん社会科や理科でも統計を使って欲しい，さらに欲を出すと教科「統計」ができればと思いますが，それはまた次の話…．