平成 24 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

いまさらながらですが，昨年度の問題です．前にも解いたのですが，どこかに行ったのでとりあえず．

今回は相関表を用いた問題ですね．前半は 20 人の国語と英語のテストの結果のデータ，後半も同じですが，40 名追加され 60 人のデータになっています．

相関表は新しい指導要領では特に無かったのですが，結構，面白いし，官庁の資料でも見られますので，覚えていて損はないかなと思います．

結構，計算量が多そうな部分もありますが，分布の特徴を知っていると解きやすくなるなど，おもしろいところもあり，良く考えているなと思います．

(1) 相関表から情報を読み取る問題．国語の得点が 4 点の生徒は国語が 4 点のところをみればよいので， 5 人であり，英語の得点が国語の得点以下の生徒はこの相関表の対角線を引き（対角線上は英語と国語が同じ点数），対角線上と対角線より下の人を探せばよいので，8 人と読める．

(2) 相関表から度数を読み取り，平均値や分散を求める問題．すべてのデータの値があるため求められるが，ちょっと面倒．仮平均等を利用してもよいが何か良い方法があるのかな…．とりあえず求めて，国語の平均値は (3×2+4×5+5×8+6×2+7×2+8×1)÷20= 5.0 点，英語の分散は {1×(3-6.0)^2+2×(4-6.0)^2+2×(5-6.0)^2+8×(6-6.0)^2+5×(7-6.0)^2+2×(8-6.0)^2}÷20 = 1.60 となる．度数が多いところは 0 がかかるので計算量が減っています．

(3) 相関表から偏差が 0 出ないところをみつけ，相関係数を工夫して求める問題？おもしろい問題と思いました．前半で，平均値と異なる人数をきいていますが，平均値と同じところを国語と英語で除くと（相関表で国語の 5 のところ，英語の 6 のところ）に線を引けば消されなかったセルにある人数 5 人が該当者とわかる．集合の話をしているのかなと思ったら後半の問題につながっていますね．この消された人たちは少なくとも一方が平均と同じのため，偏差が 0 となり，つまり偏差積が 0 になります．したがって共分散は，残った 5 人のところの計算（偏差積の和）を 20 で割って，1.00．国語と英語の分散が等しいことも踏まえ，相関係数は 1.00÷1.6=0.625 となる．

(4) 最初の問は素直に求めることはできますが，ちょっと計算量が大変かなと思います．ただ求めるだけなので難しくはないですけど…．とりあえず (1×1+2×2+3×3+…9×1)=282．また 60 人から D，E，F を除いて 52 名なので，D + E+ F = 8 名．国語の合計点数から 4D + 5E + 8F = 5.4×60 - 282 = 42．3 つの連立方程式を解いて，D = 4 人，E = 2 人，F = 2 人．3 つの連立ですが，それでも割と求めやすいと思います．

(5) こういう必要性があるのか気になりますが，あるかもしれませんのでとりあえず求めても，単に平均が定義がわかれば，求められます．全体の平均×60 = A クラスの平均×20 + その他のクラスの平均×40 のため，5.4×60 = 6.0×20+その他のクラスの平均×40 が成立し，この方程式を解いて，5.1 点．中央値は今回の相関表から A クラスのデータをとって40 名の半分の 20 番目と 21 番目の得点を考えるがともに 5 点のため，中央値は 5 点となる．これも難しくないのですが，ちょっと面倒かも．

(6) この問題は面倒ですが，へーと思うところもあります．要するに国語の得点をそれぞれ見ていき，対称になってい無い場合が異なる場合で，1, 2, 4, 9 の逆で 4 個ある．また平均，中央値ともに小さいのは，相関表の対角線よりも下に平均値や中央値があるところで，7 と 8 と 9 の 3 個になる．分布の形状による中央値と平均値の関係を知っていればとけると思います．これは面白いと思います．