某カレーチェーン店のスプーン

学食ではありませんが，番外です．

今年も某カレーチェーン店でスプーンの抽選がありましたが，とりあえずゲットしました．記憶の限りでは，これまで２回引いて２回ともあたっています．このキャンペーンが始まった（１０年ぐらい前？）ときに一度して，ゲット．そしても今日も久しぶりにチャレンジしたらゲットでした．

どちらにしてもちょっとうれしかったです．

平成 24 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

いまさらながらですが，昨年度の問題です．前にも解いたのですが，どこかに行ったのでとりあえず．

今回は相関表を用いた問題ですね．前半は 20 人の国語と英語のテストの結果のデータ，後半も同じですが，40 名追加され 60 人のデータになっています．

相関表は新しい指導要領では特に無かったのですが，結構，面白いし，官庁の資料でも見られますので，覚えていて損はないかなと思います．

結構，計算量が多そうな部分もありますが，分布の特徴を知っていると解きやすくなるなど，おもしろいところもあり，良く考えているなと思います．

(1) 相関表から情報を読み取る問題．国語の得点が 4 点の生徒は国語が 4 点のところをみればよいので， 5 人であり，英語の得点が国語の得点以下の生徒はこの相関表の対角線を引き（対角線上は英語と国語が同じ点数），対角線上と対角線より下の人を探せばよいので，8 人と読める．

(2) 相関表から度数を読み取り，平均値や分散を求める問題．すべてのデータの値があるため求められるが，ちょっと面倒．仮平均等を利用してもよいが何か良い方法があるのかな…．とりあえず求めて，国語の平均値は (3×2+4×5+5×8+6×2+7×2+8×1)÷20= 5.0 点，英語の分散は {1×(3-6.0)^2+2×(4-6.0)^2+2×(5-6.0)^2+8×(6-6.0)^2+5×(7-6.0)^2+2×(8-6.0)^2}÷20 = 1.60 となる．度数が多いところは 0 がかかるので計算量が減っています．

(3) 相関表から偏差が 0 出ないところをみつけ，相関係数を工夫して求める問題？おもしろい問題と思いました．前半で，平均値と異なる人数をきいていますが，平均値と同じところを国語と英語で除くと（相関表で国語の 5 のところ，英語の 6 のところ）に線を引けば消されなかったセルにある人数 5 人が該当者とわかる．集合の話をしているのかなと思ったら後半の問題につながっていますね．この消された人たちは少なくとも一方が平均と同じのため，偏差が 0 となり，つまり偏差積が 0 になります．したがって共分散は，残った 5 人のところの計算（偏差積の和）を 20 で割って，1.00．国語と英語の分散が等しいことも踏まえ，相関係数は 1.00÷1.6=0.625 となる．

(4) 最初の問は素直に求めることはできますが，ちょっと計算量が大変かなと思います．ただ求めるだけなので難しくはないですけど…．とりあえず (1×1+2×2+3×3+…9×1)=282．また 60 人から D，E，F を除いて 52 名なので，D + E+ F = 8 名．国語の合計点数から 4D + 5E + 8F = 5.4×60 - 282 = 42．3 つの連立方程式を解いて，D = 4 人，E = 2 人，F = 2 人．3 つの連立ですが，それでも割と求めやすいと思います．

(5) こういう必要性があるのか気になりますが，あるかもしれませんのでとりあえず求めても，単に平均が定義がわかれば，求められます．全体の平均×60 = A クラスの平均×20 + その他のクラスの平均×40 のため，5.4×60 = 6.0×20+その他のクラスの平均×40 が成立し，この方程式を解いて，5.1 点．中央値は今回の相関表から A クラスのデータをとって40 名の半分の 20 番目と 21 番目の得点を考えるがともに 5 点のため，中央値は 5 点となる．これも難しくないのですが，ちょっと面倒かも．

(6) この問題は面倒ですが，へーと思うところもあります．要するに国語の得点をそれぞれ見ていき，対称になってい無い場合が異なる場合で，1, 2, 4, 9 の逆で 4 個ある．また平均，中央値ともに小さいのは，相関表の対角線よりも下に平均値や中央値があるところで，7 と 8 と 9 の 3 個になる．分布の形状による中央値と平均値の関係を知っていればとけると思います．これは面白いと思います．

平成 25 年度センター試験（本試験）数学 II・B 第 5 問

毎年しているつもりでしたが，去年はアップしていませんでしたね．あれれと思います．

今年の問題は計算量を減らす工夫は素晴らしいと思いますが，もう少し統計的な考え方の問題があってもよいかなと感じました．とはいえ，試験問題を作るのは大変なので，あまり言えませんが…．

今年の問題は全体を通し，テストの点数に関する問題で，10 名の国語，英語，数学の 3 教科の結果について，統計量の計算および散布図を選ぶ問題といえそうです．

計算時間があれば基本的な統計量の求め方や散布図の描き方を知っていれば，満点取れると思います．

(1) 10 人の国語の点数の値が与えられており，平均値，分散，中央値を求める問題．各統計量の定義を知っていればできる，基礎的な問題です．それぞれ計算して，平均値は 7.0 点，分散は 4.00，中央値は 7.0  点でした．特にテクニック的な求め方は浮かびませんでしたが何かあるのでしょうか…．

(2) 度数分布表の穴あき問題．すでにある程度わかっているので，平均値と分散を求める式から関係式を考えると 2 つの式が得られるので，その連立方程式を解けば求められる．C >D から C = 9 点，D = 7 点．こちらも基礎的な問題で，統計の基礎力を確認しているように思います．

(3) 与えられた 2 組のデータから散布図と相関係数を求める問題．実際に散布図を描けば，0 の散布図の (7,10) はデータにないこと（※そもそも英語で 10 がいない），1 の散布図の (10,7) がデータにないこと，3 の散布図では (7, 8) がデータにないこと，に気づけば選択肢 2 が選べる．間違い探し的に探すのが良いのだろうか…．相関係数は求めるしかないのですが，逆にすでにすべての数値があるので，確実に求められることがわかります．実際に手計算すると 0 となる部分が多く，とりあえずは求められます．結果 0.2 となります．ICT を利用したらさっととける問題はどうかなと思いますが，この計算の工夫は良く考えていると思います．

(4) 前半は 2 つの変数の合計の平均を求める問題．平均の求め方が分かっていれば，式変形を行い，（合計の平均）＝（国語の平均）＋（数学の平均）＝7.0 + 5.4 = 12.4  点とわかります．何か含みがある問題なのかなと思いつつ，仕掛けをきづきませんでした…．

後半は合計の分散を流れに従い計算する問題．相関係数とそれぞれの分散が与えられているので，相関係数を求める式にそれぞれの値をいれ，偏差積も方程式で求めることができ，T = -3.000
となる．分散においても (4) の前半と同様に式変形をすれば，S_w^2 = S_x^2 + S_y^2 + 1/5 T とわかる．あとは S_x^2，S_y^2，T の値はすでに求められているので，計算して， 4.84 となる．

もう少し統計的な部分が…とは思いますが，全体として基本的にわかりやすい問題と思います．

参考まで．